典型例题：不可积函数的定积分计算

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【注】这里指的不可积函数是原函数无法求解或者很难求解，或者原函数不能用初等函数描述的函数。

以下是学友“云水”分享的一个典型定积分计算题，觉得有意思，所以在这里发布，并补充相关思路与典型问题，以供大家参考！

对于定积分问题的求解，基本思路可以参考已经发布的文章，具体参见本文最下面列出的“相关阅读”文章列表。

对于这类问题可以根据列出的不定积分与定积分的基本思考步骤，仔细体会计算过程中出现的表达式及形式变化。对于该题的计算，需要对三角运算公式比较熟练。将其整理得更清晰的思路如下：

第一步：被积函数分解两个函数的乘积：

第二步：将其中容易构建原函数的函数与dx组合，构建微分，于是有

第三步：可以考虑分部积分法和换元法：

尝试分部积分法，可以发现问题并不能简化，于是尝试换元法，即令d后面的函数为中间变量t，即令t=arctanx，从而有

于是有

第四步：对于新变量t求定积分，于是有

该问题后面部分类似于第一步的分部积分法，没有特别有效的形式，因此考虑对tant拆分，于是有

对于这类问题，对于后面两个部分，积分限相同，被积函数不同，并且被积函数中的三角函数为互余函数关系，于是令第一个积分中的

于是做如下代换，并借助积分对符号的无关性，有

即以上关于t积分的后面两个积分结果为0，于是最终的结果就为

【注】对于这个问题采用通常的积分方法，通过分部积分法或者直接换元法转换为求原函数的方法来计算定积分行不通，只有采取这种积分式变换的方法来得到问题的解。对于这类问题可以归结为不可积函数求定积分问题，基本思路与方法差不多；最终都一般通过拆分积分项的方法转换为原积分和一个数值，或者转换为两个可以互相消去的积分项和一个积分值来得到原积分的值。

类似的有如下几个典型例题：

例1：计算

【参考解答】：令x=-t，则

于是

例2：计算

【参考答案】：令x = π/2 - t，dx = - dt，tan(π/2 - t) = cot(t)，于是有

类似也有如下原函数存在的定积分问题，最终也不需要求原函数步骤求定积分：

例3：计算

【参考解答】：

【注】对于该题，把以上积分限去掉，利用类似思路即可得到被积函数的不定积分！

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